บทที่ 5 การวัดการกระจายของข้อมูลและค่ามาตรฐาน

5.1 การวัดการกระจายของข้อมูล

การวัดการกระจายของข้อมูล (Measures of Dispersion) จากความหมายการคำนวณและการใช้ค่ากลางชนิดต่าง ๆ ถ้าพิจารณาให้ละเอียด จะเห็นว่าการทราบแต่เพียงค่ากลางของข้อมูลไม่เพียงพอที่จะอธิบายการแจกแจงของข้อมูลชุดนั้น ค่ากลางแต่ละชนิดมิได้บอกให้ทราบว่า ค่าจากการสังเกตทั้งหลายในข้อมูลชุดนั้นต่างจากค่ากลางมากน้อยเพียงใด และค่าส่วนใหญ่อยู่ร่วมกลุ่มกันหรือกระจายออกไป สมมติว่า คะแนนสอบวิชาหนึ่งของนักเรียน 2 ห้อง ซึ่งใช้ข้อสอบชุดเดียวกันมีค่าเลขเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน คือ 67 แต่ ห้องแรกมีคะแนนสูงสุด 72 และคะแนนต่ำสุด 62 ส่วนห้องหลังมีคะแนนสูงสุด 97 และคะแนนต่ำสุด 25 จะเห็นว่า คะแนนสูงสุดกับคะแนนต่ำสุดของห้องแรกต่างกันเพียง 10 คะแนน แต่ห้องหลังคะแนนต่างกันถึง 72 คะแนน แสดงว่าหลังนี้มีการกระจายของคะแนนสูงกว่าห้องแรก ซึ่งอาจกล่าวได้ว่านักเรียนห้องแรกส่วนใหญ่สอบได้คะแนนใกล้เคียงกัน แต่นักเรียนห้องหลังสอบได้คะแนนต่างกัน เพื่อให้เห็นลักษณะของข้อมูลที่ชัดเจนขึ้นจึงจำเป็นต้องทราบทั้งค่ากลางและค่าซึ่งแสดงการกระจายของข้อมูลด้วย

5.2 วิธีการวัดการกระจายของข้อมูล

วิธีที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลมีอยู่ด้วยกันหลายวิธี แต่วิธีที่นิยมใช้กันมีอยู่ 2 วิธี คือ พิสัย(Rage) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

5.2.1 พิสัย (Rage)

พิสัย คือ ค่าใช้วัดการกระจายที่ได้จากผลต่างระหว่างข้อมูลที่มีค่าสูงสุด และข้อมูลที่มีค่าต่ำสุด

ถ้า x1,x2,x3,…,Xn เป็นค่าของข้อมูลชุดหนึ่ง พิสัยของข้อมูลนี้เท่ากับ

พิสัย = Xmax - Xmin หรือ พิสัย = ค่าสูงสุด-ค่าต่ำสุด

ตัวอย่างที่ 5.1 จงหาพิสัยของผลผลิตน้ำตาลของ 6 ประเทศที่ผลิตได้ในเดือนกันยายน พ.ศ. 2552จากตารางต่อไปนี้

ประเทศ	จีน	สหรัฐอเมริกา	ไทย	อินเดีย	ออสเตรเลีย	บราซิล
ผลผลิต (ล้านตัน)	10.92	8.07	7.00	15.06	5.11	27.66

วิธีทำ จากตารางพบว่า พิสัยของผลผลิตน้ำตาลของทั้ง 6 ประเทศ คือ

พิสัย = ผลผลิตสูงสุด - ผลผลิตต่ำสุด

= 27.66-5.11

พิสัย = 22.55 ล้านตัน

ดังนั้น ผลผลิตน้ำตาลมากที่สุดและน้อยที่สุดต่างกัน 22.55 ล้านตัน

ตัวอย่างที่ 5.2 จงหาค่าพิสัยของน้ำหนักของนักศึกษา 10 คน ดังนี้

62 45 56 55 58 47 51 60 51

วิธีทำ พิสัย = น้ำหนักมากที่สุด- น้ำหนักน้อยที่สุด

= 65-45

พิสัย = 20

ดังนั้น นักศึกษามีน้ำหนักมากที่สุดและน้อยที่สุดต่างกัน 20 กิโลกรัม

ถ้าเป็นข้อมูลแจกแจงความถี่โดยแบ่งเป็นอันตรภาคชั้นต่าง ๆ แล้ว

พิสัย คือ ผลต่างระหว่างขอบบนของอันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าสูงสุดและขอบล่างของอันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าต่ำสุด

ถ้าอันตรภาคชั้นแรกหรืออันตรภาคชั้นสุดท้าย อันตรภาคชั้นใดชั้นหนึ่งหรือทั้งสองอันตรภาคชั้นเป็นอันตรภาคชั้นเปิด ย่อมหาพิสัยไม่ได้

การวัดการกระจายโดยใช้พิสัยนี้ เป็นวิธีการกระจายอย่างคร่าวๆ เพราะค่าที่ได้หามาจากค่าของข้อมูลเพียงสองค่าเท่านั้น ค่าอื่น ๆ ของข้อมูลไม่ได้นำมาใช้ในการคำนวณหาพิสัย ดังนั้นถ้าค่าของข้อมูลใดข้อมูลหนึ่งมีค่ามากหรือน้อยผิดปกติจากค่าของข้อมูลอื่น ๆ อาจมีผลทำให้การวัดการกระจายโดยใช้พิสัยมีค่าสูงกว่าที่ควรจะเป็นจริงมาก ความถูกต้องที่ได้จากการวัดการกระจายโดยนี้จึงอาจมีน้อยเมื่อเปรียบเทียบกับการวัดการกระจายโดยวิธีอื่น ๆ ที่ใช้ค่าของข้อมูลทั้งหมดที่มีอยู่ แต่การวัดการกระจายโดยใช้พิสัยมีข้อดีที่สามารถวัดได้รวดเร็ว ส่วนใหญ่จึงมักใช้วัดการกระจายของข้อมูลในกรณีซึ่งไม่ต้องการความถูกต้องมากนัก

5.2.2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

การวัดการกระจายข้อมูลโดยใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นวิธีที่นักสถิติยอมรับว่าเป็นวิธีที่ใช้วัดการกระจายได้ดีที่สุด เมื่อเปรียบเทียบกับวิธีการวัดการกระจายโดยใช้พิสัย ทั้งนี้เนื่องจากการวัดการกระจายโดยวิธีนี้ใช้ข้อมูลทุก ๆ ค่า หรือมีตัวแทนของข้อมูลทุกค่ามาคำนวณ และขจัดปัญหาในการที่ต้องใช้ค่าสัมบูรณ์ให้หมดไป การวัดการกระจายโดยวิธีนี้นอกจากจะได้ค่ากระจายที่มีความละเอียดถูกต้องและเชื่อถือได้มากที่สุดแล้ว ยังสามารถนำไปใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลสถิติใชชั้นสูงต่อไป ซึ่งการวัดการกระจายข้อมูลแบบอื่นนำไปใช้ไม่ได้

1. การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่

ถ้า X1, X2, X3,…,Xn เป็นข้อมูลของประชากร N หน่วย และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น µ แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร หรือ (อ่านว่า Sigma) สามารถคำนวณได้ดังนี้

รูปภาพ

โดยที่ µ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร

และ N แทนจำนวนข้อมูลทั้งหมดของประชากร

นอกจากการใช้สัญลักษณ์ แล้ว อาจใช้สัญลักษณ์ S.D. หรือ s ในกรณีที่ไม่สามารถศึกษาข้อมูลทั้งหมดของประชากร และข้อมูลที่ใช้เป็นข้อมูลจากตัวอย่างซึ่งเป็นตัวแทนของประชากรแล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง

(Sample Standard Deviation หรือ s ) ซึ่งใช้เป็นตัวประมาณของ คำนวณได้ดังนี้

รูปสมการ

โดยที่ × แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง

และ n แทนจำนวนข้อมูลทั้งหมดของตัวอย่าง

อนึ่งในทางปฏิบัติ ข้อมูลที่มักใช้เป็นข้อมูลที่เป็นตัวอย่างของประชากรจึงนิยมใช้สูตร sแทน เพราะโดยทั่วไปไม่ทราบค่า ดังนั้นในการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงสถิติจึงนิยมใช้ s เป็นตัวประมาณของ อยู่เสมอ

อย่างไรก็ตามในเบื้องต้น อาจทราบเพียงว่าสูตรการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างมีตัวหาร 2 แบบ คือ แบบที่หารด้วย n-1 และแบบที่หารด้วย n เช่น ที่เห็นได้จากสูตรบนเครื่องคิดเลขบางเครื่องที่อาจใช้สัญลักษณ์ n-1 และ n ตามลำดับ การหารด้วย n-1 จะให้ค่า S.D. หรือ sข้างต้นสูงกว่าค่าของ s ที่ใช้ตัวหารเป็น n และการหารด้วย n-1 ยังสนับสนุนการอนุมานหรือการอ้างอิงเชิงสถิติ

(Statistic Inference) ในเรื่องสมบัติต่าง ๆ ของตัวประมาณ ถ้าสูตรของ s ที่ใช้ตัวหาร 2 แบบนี้ ให้ผลลัพธ์ต่างกันมาก อาจบอกได้ว่าขนาดตัวอย่างที่ใช้เล็กเกินไป และถ้าขนาดตัวอย่างมากขึ้น ผลลัพธ์ดังกล่าวจะใกล้เคียงกัน ดังนั้นเมื่อตัวอย่างมีขนาดใหญ่มากหรือในระดับประชากรค่าที่คำนวณได้จากสูตร 2 สูตรมีค่าไม่ต่างกัน ในทางปฏิบัติจึงนิยมใช้สูตรที่มีตัวหาร n-1 มากกว่าใช้ n

ตัวอย่างที่ 5.3 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนการแข่งขันทักษะวิชาชีพ

Microsoft Office ระดับประกาศนียบัตรวิชาชีพ (ปวช.) ในการแข่งขันทักษะวิชาชีพระดับชาติ ครั้งที่ 20 ณ จังหวัดร้อยเอ็ด จากตัวแทนทั้งหมด 6 ภาคที่เข้าร่วมการแข่งขันมีผลคะแนนดังนี้

ตัวแทนภาค	อศจ.	คะแนน (Xi)
กลาง	อศจ. ลพบุรี	196
ตะวันออกเฉียงเหนือ	อศจ. ร้อยเอ็ด	139
เหนือ	อศจ. เชียงใหม่	99
ใต้	อศจ. สงขลา	61
ตะวันออก	อศจ. ชลบุรี	34
ตะวันตก	อศจ. กาญจนบุรี	16
รวม		545

วิธีทำ จากตารางคะแนนการแข่งขันทักษะวิชาชีพ นำไปหา xi ได้ดังนี้

ตัวแทนภาค	อศจ.	คะแนน (Xi)	Xi
กลาง	อศจ. ลพบุรี	196	38416
ตะวันออกเฉียงเหนือ	อศจ. ร้อยเอ็ด	139	19321
เหนือ	อศจ. เชียงใหม่	99	9801
ใต้	อศจ. สงขลา	61	3721
ตะวันออก	อศจ. ชลบุรี	34	1156
ตะวันตก	อศจ. กาญจนบุรี	16	256
รวม		545	72671

จากคะแนนการแข่งขันทักษะข้างต้น จะได้

นั่นคือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนการแข่งขันทักษะวิชาชีพ Microsoft Office ระดับประกาศนียบัตรวิชาชีพ (ปวช.) ในการแข่งขันทักษะวิชาชีพระดับชาติ ครั้งที่ 20 ณ จังหวัดร้อยเอ็ด เท่ากับ 62.14 คะแนน

2. การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรของข้อมูลแจกแจงความถี่แล้ว การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้วเป็นการหาค่าโดยประมาณเพราะข้อมูลไม่ใช่ข้อมูลที่แน่นอน ซึ่งจะใช้วิธีเดียวกันกับการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ ดังนี้

เมื่อ Xi แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ i

Fi แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ i

K แทนจำนวนอันตรภาคชั้น

N แทนจำนวนข้อมูลทั้งหมดในประชากร หรือผลรวมของความถี่ของทุก ๆ อันตรภาคชั้น

µ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลทั้งหมด

ความแปรปรวนของประชากร (Population Variance)

ความแปรปรวน คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานยกกำลังสอง ความแปรปรวนของข้อมูล ประชากรที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ หาได้โดยใช้สูตร

และความแปรปรวนของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว หาได้โดยใช้สูตร

เมื่อ K แทนจำนวนอันตรภาคชั้น

Xi แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ i

2. การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลตัวอย่างที่แจกแจงความถี่แล้ว

การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (s) จากข้อมูลตัวอย่างของข้อมูลที่มีจำนวนมากหรือน้อยก็ตาม ทำได้ทำนองเดียวกันกับกรณีของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ ซึ่งค่าที่จะได้เป็นค่าประมาณและในปัจจุบันถ้ามีข้อมูลดิบทุกหน่วย (ข้อมูลของแต่ละหน่วยที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่) จะสามารถใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ช่วยคำนวณได้สะดวก ไม่ว่าข้อมูลจะมีจำนวนมากหรือน้อยเพียงไร อย่างก็ตามถ้ามีกรณีที่ข้อมูลไม่ใช่ข้อมูลดิบทุกหน่วย แต่เป็นข้อมูลที่มาจากแหล่งทุติยภูมิอื่น ๆ ซึ่งข้อมูลมีการแจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้นหรือเป็นกลุ่มมาแล้ว สามารถใช้สูตรการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ดังนี้

โดยที่ X แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากข้อมูลตัวอย่าง

N แทนจำนวนตัวอย่างทั้งหมด

K แทนจำนวนอันตรภาคชั้นหรือจำนวนกลุ่ม

Xi แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ i

ความแปรปรวนของตัวอย่าง (Sample Variance)

ความแปรปรวนตัวอย่างทั้งกรณีไม่แจกแจงความถี่และแจกแจงความถี่ คือ กำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลตัวอย่างในทั้งสองกรณีตามลำดับ

ดังนั้น ความแปรปรวนตัวอย่างคำนวณได้ดังนี้

โดย Fi แทนความถี่ของอันตรภาคชั้น i

Xi แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น i

K แทนจำนวนอันตรภาคชั้น

N แทนจำนวนตัวอย่างทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 5.4 จงหาความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยประมาณจากจำนวนวันหยุดของนักศึกษา จำนวน 50 คน ที่แสดงไว้ในตารางต่อไปนี้

จำนวนวันหยุด	จำนวนนักเรียน
0-2 วัน	15
3-5 วัน	20
6-8 วัน	12
9-11 วัน	2
12-14 วัน	1

วิธีทำ จากข้อมูลข้างต้นนำมาสร้างตารางใหม่ได้ดังนี้

ดั้งนั้น

s2 = 2.83

นั่นคือ โดยเฉลี่ยจำนวนวันหยุดของนักศึกษาแต่ละคนจะต่างกันจากจำนวนวันหยุดโดยเฉลี่ยของนักศึกษาทั้ง 50 คน อยู่ 2.83 วัน และความแปรปรวนของจำนวนวันหยุดของนักศึกษาทั้ง 50 คน มีค่าเท่ากับ 8.02 วัน

ตัวอย่างที่ 5.5 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุขัย (Longevity) ของสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม 10 ประเภท ประเภทละ 1 ตัว ดังตารางต่อไปนี้

สัตว์เลี้ยง (ตัวที่)	ประเภท	อายุขัย	ค่าเฉลี่ย	Xi-X	Xi-x2
1	แมว	12	11	1	1
2	วัว	15	11	4	16
3	สุนัข	12	11	1	1
4	ลา	12	11	1	1
5	แพะ	8	11	-3	9
6	หนูตะเภา	4	11	-7	49
7	ม้า	20	11	9	81
8	หมู	10	11	-1	1
9	กระต่าย	5	11	-6	36
10	แกะ	12	11	1	1
รวม		110		0	196

หมายเหตุ อายุขัย หมายถึง การสิ้นอายุ ความตาย อัตรากำหนดอายุจนสิ้นอายุ

วิธีทำ

ดังนั้น สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมด้วยนมข้างต้นมีอายุขัยโดยเฉลี่ยประมาณ 11 ปี และมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุขัยประมาณ 4.67 ปี

สรุปสัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และจำนวนข้อมูลที่ใช้เป็นดังนี้

ประชากร (พารามิเตอร์) ตัวอย่าง(ตัวประมาณ)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต µ X

ส่วนเบี่ยงเบน s หรือ S.D.

จำนวนข้อมูล N n

5.3 ค่ามาตรฐาน

ค่ามาตรฐาน หมายถึง การเปรียบเทียบค่าของข้อมูลตั้งแต่สองค่าขึ้นไปที่มาจากข้อมูลคนละชุดมีความแตกต่างกันหรือไม่เพียงไร อาจมีมาตราวัดที่แตกต่างกันหรือมีหน่วยต่างกัน

บางครั้งไม่สามารถเปรียบเทียบโดยตรงได้ ทั้งนี้เนื่องจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลแต่ละชุดและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมักจะไม่เท่ากัน เช่น ต้องการเปรียบเทียบผลการเรียนวิชาภาษาอังกฤษและวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนคนใดคนหนึ่งในชั้นว่า

เรียนวิชาไหนดีกว่ากัน แม้ว่าจะทำได้โดยดูจากคะแนนสอบของวิชาทั้งสองโดยปรับให้มีคะแนนเต็มเท่ากัน ถ้าคะแนนสอบของวิชาใดดีกว่าก็สรุปผลว่านักเรียนคนนั้นเรียนวิชานั้นได้ดีกว่า ซึ่งจะเห็นได้ว่าเป็นการสรุปผลที่ยังไม่ถูกต้องนักเพราะค่าเฉลี่ยเลขคณิต หรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาทั้งสองของนักเรียนทั้งหมดในชั้นอาจจะไม่เท่ากัน ทั้งนี้อาจจะเนื่องมาจากเนื้อหาหรือข้อสอบของทั้งสองวิชามีความยากง่ายต่างกัน หรือครูผู้สอนแต่ละวิชามีวิธีการสอนที่จะทำให้นักเรียนมีความเข้าใจในวิชานั้นๆ ต่างกัน เป็นต้น ดั้งนั้นเพื่อที่จะให้การเปรียบเทียบมีความถูกต้องมากขึ้น จึงมีความจำเป็นต้องแปลงคะแนนของวิชาทั้งสองที่นักเรียนคนนั้นสอบได้ให้เป็นคะแนนมาตรฐานหรือค่ามาตรฐาน(ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตแต่ละส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากันเสียก่อน) โดยใช้สูตรค่ามาตรฐานแล้วจึงเปรียบเทียบคะแนนวิชาทั้งสอง การแปลงค่าข้อมูลของตัวแปรแต่ละตัวให้เป็นค่ามาตรฐานนี้โดยทั่วไปคือ การเปลี่ยนแปลงข้อมูลให้เป็นค่ามาตรฐานที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1

หรือ Zi = Xi-X เมื่อ i คือ 1,2,…, n

โดยที่ Xi แทน ค่าที่ i ของตัวแปร X

X แทน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง

S แทน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง

n แทน จำนวนตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 5.6 นักเรียนคนหนึ่งสอบวิชาภาษาอังกฤษและวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งมีคะแนนเต็ม 100คะแนนเท่ากัน ได้ 72 คะแนน และ 75 คะแนน ตามลำดับ ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนห้องนี้เป็น 70 และ 10 คะแนน และของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์เป็น 73 และ 16 คะแนน ตามลำดับ จงเปรียบเทียบดูว่านักเรียนคนนี้เรียนรายวิชาไหนดีกว่ากัน

วิธีทำ จากค่ามาตรฐานของ Xi คือ

จะได้ ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ = 72-70

ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ = 0.20

ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ = 72-73

ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ = 0.125

ดังนั้น ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนคนนี้สูงกว่าค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ แสดงว่านักเรียนคนนี้เรียนวิชาภาษาอังกฤษได้ดีกว่าวิชาคณิตศาสตร์ ตอบ

ตัวอย่างที่ 5.7 คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักศึกษาห้องหนึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 73 และ 16 ตามลำดับ ถ้าค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชานี้ของนักเรียนคนหนึ่งในห้องนี้ คือ 0.2 อยากทราบว่านักเรียนคนนี้สอบได้กี่คะแนน

นั่นคือ นักเรียนคนนี้สอบวิชาคณิตศาสตร์ได้ 76.2 คะแนน ตอบ

ตัวอย่างที่ 5.8 ในการสอบปรากฏค่าเฉลี่ยของการสอบเป็น 80 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น10 และในการตัดสินใจผลสอบผู้ที่ได้คะแนนมาตรฐานตั้งแต่-1 จะถือว่าสอบผ่าน ปรากฏว่ามีนักเรียนคนหนึ่งสอบได้ 75 คะแนน ต้องการทราบว่านักเรียนคนนี้สอบผ่านหรือสอบตก

วิธีทำ จากสูตร Zi = Xi-X